Главная >> Физика для 11 класса. Мякишев

Глава 3. Механические колебания

 

       

§ 21. Динамика колебательного движения (окончание)

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через аτ. Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Согласно второму закону Ньютона

    τ = Fτ,

или

    τ = -mg sin α.                         (3.6)

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

    аτ = -g sin α. α.                         (3.7)

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

    sin α ≈ α.

Следовательно, можно принять

    аτ = -gα. α.                         (3.8)

Если угол α мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: аτ ≈ аx (см. рис. 3.5). Из треугольника AВО для малого угла а имеем:

    проекция ускорения

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла α, получим

    ускорение прямо пропорционально координате

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mах = Fx peз, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.


Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).


<<< К началу